SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Pengertian Persamaan Linear Dua variabel

persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk ax + by = c dimana x dan y adalah variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).

contoh :

a. x – y = 0

b. 3p + q = 9

Misalkan akan dicari penyelesaian dari 3p + q = 9.

Bila p = 0, maka 3.0 + q = 9, sehingga q = 9 Penyelesaiannya adalah (0,9)

Bila p = 1, maka 3.1 + q = 9, sehingga n = 6, Penyelesaiannya adalah (1,6).

Bila p = 2, maka 3.2 + q = 9, sehingga n = 3, Penyelesaiannya adalah (2,3).

Demikian untuk seterusnya.

B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  adalah dua buah persamaan linear dua variabel yang mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umumnya seperti berikut :

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

Dengan a₁, b₁,  a₂, b₂ adalah koefisienserta x dan y adalah variabel.

Contoh :

x – y =4 … (i)

x + y =6 … (ii)

Persamaan (i) dan (ii) disebut sistem persamaan linear dua variabel karena kedua persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian yaitu (5,1)

C. Penyelesaian Sistem persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel dapat diselesaikan dengan :

1. Metode substitusi

Bila menggunakan metode subtitusi kita dapat menggantikan suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:

1)      Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d

TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah

2)      Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya.

3)      Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y.

4)      Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari varabel yang belum diketahui.

5)      Penyelesaiannya adalah (x, y).

Contoh :

2x – y = 6 ……..(i)

x + y = 3 ……..(ii)

Langkah pertama

Ubahlah salah satu persamaan dalam bentuk x = …. Atau y = ….

Dari persamaan (i), kita dapat memperoleh :  2x – 6 = y

Langkah  kedua dan ketiga

Subtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga diperoleh :

x + (2x – 6) = 3

3x – 6 = 3

3x = 9

x = 3

Langkah Keempat

Nilai x = 3 disubtansikan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).

Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (i), diperoleh :

2.3 – y =6

6 – y = 6

y = 6-6

y = 0

Langkah kelima

penyelesaiannya adalah (x, y)
Hasil yang diperoleh x = 3 dan y = 0
Penyelesaiannya adalah (3, 0)

2. Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Contoh diatas dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi berikut.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

1)        Menyamakan salah satu koefisien dari variabel x atau y dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.

2)        Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.

3)        Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan varibel yang belum diketahui.

4)        Penyelesaiannya adalah (x, y).

Contoh :

2x – y = 6 …. (i)

x + y = 3 …. (ii)

Langkah awal

mulailah dengan menghilangkan variabel x

2x – y = 6 | x 1 |2x – y = 6

x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3 y = 0

y = 0

Langkah Kedua

hilangkan variabel y

2 x – y  = 6

    x + y = 3

        3x = 9

x = 3

jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

3. Metode Grafik

Dengan metode grafik, kita harus menggambar grafik dari kedua persamaan, kemudian titik potong kedua grafik tersebut merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

1)        Menggbar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius.

2)        Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.

3)        Penyelesaiannya adalah (x, y).

Contoh :

2x – y = 6

x + y = 3

Langkah awal

gambarlah grafik persamaan 2x – y = 6.

kita harus menentukan terlebih dahulu titik potong grafik terhadap sumbu X dan sumbu Y.

1) titik potong terhadap sumbu X, maka y= 0

2x – y = 6

2x – 0 = 6

2x = 6

x = 3

Langkah kedua

titik potong terhadap sumbu Y, maka  x = 0.

x + y = 3

0 + y = 3

y = 3

Langkah ketiga

titik potong terhadap Y adalah (0,3).

4. Metode campuran dari metode eliminasi dan substitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan metode campuran dari eliminasi dan subtitusi.

Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

1)   Cari nilai salah satu variabel x atau y dengan metode eliminasi.

2)   Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui.

3)   Penyelesaiannya adalah (x, y).

Contoh :

2x – y = 3 ….. (i)

x + y = 3 ….. (ii)

Langkah awal : metode eliminasi

hilangkan variabel x

2x – y = 6 |x 1 |2x – y  = 6

x + y = 3 |x 2 | 2x + 2y = 6

-3y = 0

y = 0

Langkah kedua : metode subtitusi

masukkan nilai y = 0 ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii), misalkan nilai y = 0 dimasukkan ke persamaan (i).

2x – 0 = 6

2x = 6

x  = 3

jadi, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adlah x = 3 dan y = 0, dituliskan HP = {(3,0)}